Kaj je Bayesov teorem?
Bayesov izrek, imenovan po britanskem matematiku iz 18. stoletja Thomasu Bayesu, je matematična formula za določanje pogojne verjetnosti. Izrek omogoča način pregleda obstoječih napovedi ali teorij (posodobitev verjetnosti) z novimi ali dodatnimi dokazi. Pri financah lahko Bayesov izrek uporabimo za oceno tveganja posojanja denarja potencialnim posojilojemalcem.
Bayesov izrek se imenuje tudi Bayesov zakon ali Bayesov zakon in je temelj področja Bayesove statistike.
Ključni odvzemi
- Bayesov teorem omogoča posodobitev predvidenih verjetnosti dogodka z vključitvijo novih informacij. Teorem Baesa je bil imenovan po matematiku iz 18. stoletja Thomasu Bayesu. Pri posodabljanju ocene tveganja se pogosto ukvarja s financami.
Formula za Bayesov teorem je
Сігналы абмеркавання P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A), kjer: P (A) = verjetnost pojava A (B) = Verjetnost pojava BP (A∣B) = verjetnost A danega BP (B∣A) = verjetnost B danega AP (A⋂B)) = verjetnost pojava A in B
Pojasnil je Bayesov teorem
Uporaba teorema je zelo razširjena in ni omejena na finančno področje. Kot primer lahko Bayesov izrek uporabimo za določitev natančnosti rezultatov zdravniških testov, pri čemer upoštevamo, kako verjetno je, da ima posamezna oseba bolezen in splošno natančnost testa. Bayesov izrek temelji na vključitvi predhodnih porazdelitev verjetnosti, da bi ustvaril posteriorne verjetnosti. Predhodna verjetnost je pri Bayesovem statističnem sklepanju verjetnost dogodka pred zbiranjem novih podatkov. To je najboljša racionalna ocena verjetnosti izida na podlagi trenutnih znanj pred izvedbo eksperimenta. Zadnja verjetnost je spremenjena verjetnost dogodka, ki se zgodi po upoštevanju novih informacij. Zadnja verjetnost se izračuna s posodobitvijo predhodne verjetnosti z uporabo Bayesovega teorema. V statističnem smislu je zadnja verjetnost verjetnost dogodka A, ki se zgodi, glede na to, da se je zgodil dogodek B.
Bayesov izrek tako daje verjetnost dogodka na podlagi novih informacij, ki so ali so lahko povezane s tem dogodkom. Formulo lahko uporabimo tudi za prikaz, kako hipotetične nove informacije vplivajo na verjetnost dogodka, če se izkaže, da se nove informacije izkažejo za resnične. Recimo, da je ena kartica sestavljena iz celotnega kroga 52 kart. Verjetnost, da je karta kralj, je 4 deljena s 52, kar je 1/13 ali približno 7, 69%. Ne pozabite, da so v krovu 4 kralji. Predpostavimo, da je razkrito, da je izbrana karta osebna kartica. Verjetnost, da je izbrana karta kralj, glede na to, da gre za kartico, je 4 deljena z 12, ali približno 33, 3%, saj je v krovu 12 obraznih kartic.
Izvedba Bayesove formule teorema s primerom
Bayesov izrek izhaja preprosto iz aksiomov pogojne verjetnosti. Pogojna verjetnost je verjetnost dogodka glede na to, da se je zgodil drug dogodek. Na primer, preprosto vprašanje verjetnosti se lahko postavi: "Kolikšna je verjetnost, da bo cena delnic Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN) padla?" Pogojna verjetnost to vprašanje naredi še korak dlje, tako da vpraša: "Kolikšna je verjetnost padanja cene delnic AMZN, če je indeks Dow Jones Industrial Average (DJIA) padel prej?"
Pogojna verjetnost A glede na to, da se je zgodil B, se lahko izrazi kot:
Če je A: "AMZN cena pade", potem je P (AMZN) verjetnost, da pade AMZN; in B je: "DJIA je že padla", P (DJIA) pa verjetnost, da je DJIA padla; potem se pogojni verjetnostni izraz glasi kot "verjetnost, da se AMZN spusti ob padcu DJIA, je enaka verjetnosti, da se cena AMZN zniža, DJIA pa upade nad verjetnostjo znižanja indeksa DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN in DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN in DJIA) je verjetnost pojava A in B. To je isto kot verjetnost pojava A, pomnoženo z verjetnostjo nastanka B, glede na to, da se pojavlja A, izražen kot P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Dejstvo, da sta ta dva izraza enaka, vodi k Bayesovemu teoremu, ki je zapisan kot:
če je P (AMZN in DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
potem je P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Kjer sta P (AMZN) in P (DJIA) verjetnosti, da Amazon in Dow Jones padeta, ne glede na drug drugega.
Formula pojasnjuje razmerje med verjetnostjo hipoteze pred ogledom dokazov, da je P (AMZN), in verjetnostjo hipoteze po pridobitvi dokazov P (AMZN | DJIA), glede na hipotezo za Amazon, ki je naveden v Dowu.
Numerični primer teorema Bayesa
Kot numerični primer si predstavljajte, da obstaja preizkus drog, ki je 98% natančen, kar pomeni 98% časa, da kaže resnično pozitiven rezultat za nekoga, ki je užival drogo, v 98% pa kaže resničen negativen rezultat za neuporabnike droga. Nato predpostavimo, da 0, 5% ljudi uživa drogo. Če je oseba, izbrana na naključnih testih, pozitivnih za zdravilo, je mogoče izračunati, ali obstaja verjetnost, da je oseba dejansko uporabnik droge.
(0, 98 x 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayesov izrek kaže, da četudi je človek v tem scenariju preizkušen pozitivno, je dejansko veliko bolj verjetno, da oseba ni uporabnik droge.
