Možnosti vrednotenja so lahko težaven posel. Razmislite o naslednjem scenariju: Januarja 2015 je trgovanje z vrednostnimi papirji IBM znašalo 155 USD in pričakovali ste, da bo v naslednjem letu višje. Na IBM delnici nameravate kupiti klicno opcijo z odstopno ceno ATM v višini 155 dolarjev, pri čemer pričakujete, da bo koristil visok odstotek donosa, ki temelji na majhnih stroških opcij (opcija opcija), v primerjavi z nakupom zaloge z visoko nakupno ceno.
Kakšna naj bo poštena vrednost te klicne možnosti pri IBM-u?
Danes je na voljo nekaj različnih gotovih metod za vrednotenje možnosti - vključno z modelom Black-Scholes in modelom binomnih dreves -, ki lahko zagotovijo hitre odgovore. Toda kateri so temeljni dejavniki in gonilni koncepti za dosego takšnih modelov vrednotenja? Ali je mogoče na osnovi koncepta teh modelov pripraviti kaj podobnega?
Tukaj smo zajeli gradnike, osnovne koncepte in dejavnike, ki jih je mogoče uporabiti kot okvir za oblikovanje modela vrednotenja sredstva, kot so opcije, s čimer dobimo primerjalno primerjavo s poreklom črnih šoferjev (BS) model.
Svet pred črno-luknjami
Pred Black-Scholesom je bil široko upoštevan ravnotežni model določanja cen kapitalskih naložb (CAPM). Donosi in tveganja so bili medsebojno uravnoteženi na podlagi vlagateljeve želje, tj. Pričakovali smo, da bo vlagatelj z visokim tveganjem nadomestil (potencial) višje donose v podobnem deležu.
Model BS korenine najde v CAPM. Po besedah Fisherja Blacka: "Model določanja vrednosti premoženja za kapital sem uporabil za vsak trenutek v garancijskem roku, za vsako možno ceno delnice in vrednost garancije." Na žalost CAPM ni mogel izpolniti zahteve za nakupno ceno (opcijo).
Black-Scholes ostaja prvi model, ki temelji na konceptu arbitraže, pri čemer se paradigma premika od modelov, ki temeljijo na tveganju (na primer CAPM). Ta novi razvoj modela BS je koncept donosa zalog CAPM nadomestil s priznanjem dejstva, da bo popolnoma varovana pozicija pridobila stopnjo brez tveganja. To je odpravilo razlike v tveganju in donosu ter vzpostavilo koncept arbitraže, v katerem se vrednotenje izvaja na podlagi predpostavk, da je koncept nevtralen do tveganj - zavarovana (brez tveganj) pozicija naj bi vodila do brezcarinske stopnje donosa.
Razvoj črno-šahovnic
Začnimo z vzpostavitvijo problema, količinsko opredelitvijo in oblikovanjem okvira za njegovo rešitev. Nadaljujemo z našim primerom o vrednotenju možnosti ATM za klic v IBM-u s stavčno ceno 155 USD z iztekom enega leta.
Na podlagi osnovne opredelitve klicne opcije, razen če cena delnic doseže raven cenovne cene, izplačilo ostane nič. Če postavite to raven, se izplačilo linearno poveča (to pomeni, da bo zvišanje enega dolarja v osnovni osnovi omogočilo izplačilo za en dolar od možnosti klica).
Ob predpostavki, da se kupec in prodajalec dogovorita o poštenem vrednotenju (vključno z ničelno ceno), bo teoretična poštena cena za to razpisno opcijo:
- Cena možnosti klica = 0 USD, če je osnovna <stavka (rdeči graf) Možnost klica cena = (osnovna - stavka), če je osnovna> = stavka (modri graf)
To predstavlja notranjo vrednost opcije in z vidika kupca možnosti klicanja izgleda popolno. V rdeči regiji imata tako kupec kot prodajalec pošteno vrednotenje (ničelna cena za prodajalca, nič odplačila kupcu). Vendar se izziv pri vrednotenju začne z modro regijo, saj ima kupec prednost pred pozitivnim izplačilom, medtem ko prodajalec utrpi izgubo (pod pogojem, da je osnovna cena nad odstopno ceno). Tu ima kupec prednost pred prodajalcem z ničelno ceno. Cene morajo biti ničle, da prodajalcu nadomestijo tveganje, ki ga prevzame.
V prvem primeru (rdeči graf) teoretično prodaja prodajo ničelno ceno in za kupca ni nobenega potenciala izplačila (pošteno do obeh). V zadnjem primeru (modri graf) prodajalec plača razliko med osnovno in stavko kupcu. Tveganje prodajalca traja celo leto. Na primer, osnovna cena delnice se lahko giblje zelo visoko (recimo na 200 dolarjev v štirih mesecih), prodajalec pa mora kupcu plačati razliko v višini 45 dolarjev.
Tako se spušča na:
- Ali bo cena osnovne cene prekrižala stavkovno ceno? Če bo, kako visoka lahko doseže osnovno ceno (ker bo to določilo izplačilo kupcu)?
To kaže na veliko tveganje prodajalca, kar vodi k vprašanju - zakaj bi nekdo prodal tak klic, če za tveganje ne prevzame ničesar?
Naš cilj je doseči enotno ceno, ki jo bo prodajalec moral zaračunati kupcu, kar mu lahko nadomesti celotno tveganje, ki ga prevzame v letu dni - tako v ničelnem območju plačila (rdeča) kot v območju linearnega plačila (modra). Cena mora biti poštena in sprejemljiva tako za kupca kot prodajalca. Če ne, potem tisti, ki je prikrajšan v smislu plačila ali prejemanja nepoštene cene, ne bo sodeloval na trgu in s tem premagal namen trgovanja. Model Black-Scholes želi doseči to pošteno ceno z upoštevanjem stalnih nihanj cen zalog, časovne vrednosti denarja, odstopne cene opcije in časa do izteka opcije. Podobno kot pri BS modelu, si poglejmo, kako lahko pristopimo k oceni tega za svoj primer z lastnimi metodami.
Kako oceniti notranjo vrednost v modri regiji?
Na voljo je nekaj načinov za napovedovanje pričakovanega gibanja cen v prihodnosti v določenem časovnem okviru:
- Lahko analiziramo podobna gibanja cen istega trajanja v nedavni preteklosti. Zgodnja zaključna cena IBM kaže, da se je v zadnjem letu (2. januarja 2014 do 31. decembra 2014) cena znižala na 160, 44 dolarja s 185, 53 dolarja, kar je padlo za 13, 5%. Ali lahko sklenemo -13, 5-odstotno gibanje cen za IBM? Nadaljnje podrobno preverjanje kaže, da se je dotaknilo letno visokih 199, 21 dolarja (10. aprila 2014) in letno najnižjega 150, 5 USD (16. decembra 2014). Glede na začetni dan, 2. januarja 2014, in končno ceno 185, 53 dolarja, se odstotek spremembe spreminja od + 7, 37% do -18, 88%. Zdaj je razpon variacij videti precej širši v primerjavi s prej izračunanim padcem za 13, 5%.
Podobne analize in opazovanja zgodovinskih podatkov je mogoče nadaljevati. Če želite nadaljevati razvoj našega modela cen, predpostavimo to preprosto metodologijo za merjenje prihodnjih nihanj cen.
Predpostavimo, da IBM vsako leto zviša 10% (na podlagi preteklih 20 let). Osnovne statistike kažejo, da bo verjetnost spremembe IBM-ove cene delnic, ki se giblje okoli + 10%, precej večja od verjetnosti, da se bo cena IBM-a dvignila za 20% ali padla za 30%, ob predpostavki, da se zgodovinski vzorci ponovijo. Če zberemo podobne zgodovinske podatkovne točke z verjetnostnimi vrednostmi, lahko celoten pričakovani donos IBM-ove delniške cene v enoletnem časovnem okviru izračunamo kot tehtano povprečje verjetnosti in s tem povezane donose. Recimo, da podatki o preteklih cenah IBM kažejo naslednje premike:
- (-10%) v 25%, + 10% v 35%, + 15% v 20%, + 15% v 10%, + 25% v 5% in (-15%) v 5%.
Zato tehtano povprečje (ali pričakovana vrednost) doseže:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
To pomeni, da naj bi se v povprečju cena delnic IBM v enem letu vrnila + 6, 5% za vsak dolar. Če nekdo kupi IBM-ove zaloge z enoletnim horizontom in odkupno ceno 155 USD, lahko pričakujete neto donos v višini 155 * 6, 5% = 10, 075 USD.
Vendar je to za donos zalog. Poiskati moramo podobne pričakovane donose za možnost klica.
Glede na nič izplačila klica pod spodnjo ceno stavke (obstoječi 155 $ - ATM klic) bodo vsi negativni premiki ustvarili nič izplačil, medtem ko bodo vsi pozitivni premiki nad stavkovno ceno ustvarili enakovredno odplačilo. Pričakovana donosnost za možnost klica bo tako:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Se pravi, za vsakih 100 dolarjev, vloženih v nakup te možnosti, lahko pričakujemo 9, 75 USD (na podlagi zgornjih predpostavk).
Vendar to še vedno ostaja omejeno na pošteno vrednotenje dejanske količine opcije in ne zajema pravilno tveganja, ki ga nosi prodajalec opcij zaradi visokih nihanj, ki se lahko pojavijo v vmesnem času (v primeru zgoraj omenjenih znotraj in visokih in nizkih cene). Kakšno ceno se lahko poleg lastne vrednosti dogovorita kupec in prodajalec, tako da bo prodajalec pošteno kompenziran za tveganje, ki ga prevzame enoletni časovni okvir?
Ti zamahi se lahko zelo razlikujejo, prodajalec pa ima lahko svojo razlago, koliko želi, da bi ga za to prejel. Model Black-Scholes predpostavlja možnosti evropskega tipa, torej nobene vaje pred datumom izteka roka uporabnosti. Tako vmesni nihanji cen ne vplivajo na njegovo vrednotenje in temeljijo na trgovalnih dneh od konca do konca.
Pri trgovanju v resnici ta volatilnost igra pomembno vlogo pri določanju opcijskih cen. Modra izplačilna funkcija, ki jo običajno vidimo, je dejansko izplačilo po poteku roka. Realno gledano je opcija opcije (roza graf) vedno višja od izplačila (modri graf), kar kaže na ceno, ki jo prodajalec prevzame kot nadomestilo za svoje sposobnosti prevzema tveganja. Zato je opcijska cena znana tudi kot opcija „premija“ - v bistvu označuje premijo za tveganje.
To je mogoče vključiti v naš model vrednotenja, odvisno od tega, koliko volatilnosti pričakujemo v ceni delnic in koliko pričakovane vrednosti, ki bi prinesla.
Model Black-Scholes to naredi učinkovito (seveda v okviru lastnih predpostavk) na naslednji način:
Сігналы абмеркавання C = S × N (d1) −X × e − rTN (d2)
Model BS predpostavlja logično porazdelitev gibanja cen delnic, kar upravičuje uporabo N (d1) in N (d2).
- V prvem delu S označuje trenutno ceno zaloge. N (d1) kaže na verjetnost trenutnega gibanja cen zalog.
Če je ta možnost v denarju, ki kupcu omogoči izvajanje te možnosti, bo dobil eno delnico osnovnih delnic IBM-a. Če trgovec to uveljavi danes, potem S * N (d1) predstavlja današnjo pričakovano vrednost opcije.
V drugem delu X označuje stavkovno ceno.
- N (d2) predstavlja verjetnost, da bo cena delnice nad stavkovno ceno.So X * N (d2) predstavlja pričakovano vrednost delniške cene, ki ostane nad stavkovno ceno.
Ker model Black-Scholes predpostavlja možnosti v evropskem slogu, pri katerih je vadba možna le na koncu, je treba za časovno vrednost denarja diskontirati pričakovano vrednost, ki je zgoraj predstavljena z X * N (d2). Zato se zadnji del pomnoži z eksponentnim izrazom, dvignjenim na obrestno mero v časovnem obdobju.
Neto razlika obeh pogojev označuje vrednost cene opcije od danes (pri čemer je drugi termin diskontiran)
V našem okviru je takšna gibanja cen mogoče natančneje vključiti na več načinov:
- Nadaljnje izpopolnjevanje izračunov pričakovane donosnosti s širitvijo razpona na boljše intervale, da se vključijo gibanja cen znotraj dneva / znotraj leta Vključitev podatkov o današnjem trgu, saj odraža aktivnost tekočega dne (podobno kot implicirana nestanovitnost) Pričakovani donosi na datum poteka, ki lahko se diskontirajo do današnjega dne za realno vrednotenje in dodatno zmanjšajo od današnje vrednosti
Tako vidimo, da ni omejitev za predpostavke, metodologije in prilagoditve, ki jih je treba izbrati za kvantitativno analizo. Glede na sredstvo, s katerim se trguje, ali naložbo, ki jo je treba upoštevati, je mogoče razviti samorazvit model. Pomembno je opozoriti, da se volatilnost gibanja cen v različnih razredih premoženja močno razlikuje - delnice imajo nagnjenje za nestanovitnost, forex ima hlapnost in se uporabniki v svoje modele vključijo. Predpostavke in pomanjkljivosti so sestavni del vsakega modela in poznavanje modelov v resničnih scenarijih trgovanja lahko prinese boljše rezultate.
Spodnja črta
Ko kompleksna sredstva vstopajo na trge ali celo navadna vanilijeva sredstva preidejo v zapletene oblike trgovanja, postane kvantitativno modeliranje in analiza obvezno za vrednotenje. Na žalost noben matematični model ne obstaja brez nabora pomanjkljivosti in predpostavk. Najboljši pristop je, da se predpostavke čim bolj zmanjšajo in da se zavedajo naključnih pomanjkljivosti, ki lahko pomagajo pri risanju linij glede uporabe in uporabnosti modelov.
